Матричный анализ
Лемма № 2
Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.
Основным результатом является теорема Фробениуса – Перона для непрерывных матриц.
Теорема Фробениуса – Перона
Если матрица неотрицательна и неприводима, то:
1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;
2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r;
3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.
Теорма Перона (следствие)
Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.
Используя теорему Фробениуса – Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.