Лемма № 2

Если матрица  неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.  

 

Основным результатом является теорема Фробениуса – Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса – Перона

Если матрица  неотрицательна и неприводима, то:

1.               А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

2.               существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r;

3.               собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорма Перона (следствие)

Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса – Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.